# 44. Non-Conjugate Priors#

This lecture is a sequel to the quantecon lecture.

That lecture offers a Bayesian interpretation of probability in a setting in which the likelihood function and the prior distribution over parameters just happened to form a conjugate pair in which

• application of Bayes’ Law produces a posterior distribution that has the same functional form as the prior

Having a likelihood and prior that are conjugate can simplify calculation of a posterior, faciltating analytical or nearly analytical calculations.

But in many situations the likelihood and prior need not form a conjugate pair.

• after all, a person’s prior is his or her own business and would take a form conjugate to a likelihood only by remote coincidence

In these situations, computing a posterior can become very challenging.

In this lecture, we illustrate how modern Bayesians confront non-conjugate priors by using Monte Carlo techniques that involve

• first cleverly forming a Markov chain whose invariant distribution is the posterior distribution we want

• simulating the Markov chain until it has converged and then sampling from the invariant distribution to approximate the posterior

We shall illustrate the approach by deploying two powerful Python modules that implement this approach as well as another closely related one to be described below.

The two Python modules are

• numpyro

• pymc4

As usual, we begin by importing some Python code.

# install dependencies
!pip install numpyro pyro-ppl torch jax

Hide code cell output
Requirement already satisfied: numpyro in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (0.14.0)

Collecting pyro-ppl

  Downloading pyro_ppl-1.9.0-py3-none-any.whl.metadata (7.7 kB)

Collecting torch

  Downloading torch-2.3.0-cp311-cp311-manylinux1_x86_64.whl.metadata (26 kB)
Requirement already satisfied: jax in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (0.4.26)
Requirement already satisfied: jaxlib>=0.4.14 in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from numpyro) (0.4.26)
Requirement already satisfied: multipledispatch in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from numpyro) (0.6.0)

Requirement already satisfied: numpy in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from numpyro) (1.26.4)
Requirement already satisfied: tqdm in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from numpyro) (4.65.0)

Requirement already satisfied: opt-einsum>=2.3.2 in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from pyro-ppl) (3.3.0)
Collecting pyro-api>=0.1.1 (from pyro-ppl)

Requirement already satisfied: filelock in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from torch) (3.13.1)
Requirement already satisfied: typing-extensions>=4.8.0 in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from torch) (4.9.0)
Requirement already satisfied: sympy in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from torch) (1.12)
Requirement already satisfied: networkx in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from torch) (3.1)
Requirement already satisfied: jinja2 in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from torch) (3.1.3)
Requirement already satisfied: fsspec in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from torch) (2023.10.0)

Collecting nvidia-cuda-nvrtc-cu12==12.1.105 (from torch)

Collecting nvidia-cuda-runtime-cu12==12.1.105 (from torch)
Collecting nvidia-cuda-cupti-cu12==12.1.105 (from torch)

  Downloading nvidia_cuda_cupti_cu12-12.1.105-py3-none-manylinux1_x86_64.whl.metadata (1.6 kB)
Collecting nvidia-cudnn-cu12==8.9.2.26 (from torch)

  Downloading nvidia_cudnn_cu12-8.9.2.26-py3-none-manylinux1_x86_64.whl.metadata (1.6 kB)
Collecting nvidia-cublas-cu12==12.1.3.1 (from torch)

Collecting nvidia-cufft-cu12==11.0.2.54 (from torch)

Collecting nvidia-curand-cu12==10.3.2.106 (from torch)

Collecting nvidia-cusolver-cu12==11.4.5.107 (from torch)

Collecting nvidia-cusparse-cu12==12.1.0.106 (from torch)

Collecting nvidia-nccl-cu12==2.20.5 (from torch)
Collecting nvidia-nvtx-cu12==12.1.105 (from torch)

  Downloading nvidia_nvtx_cu12-12.1.105-py3-none-manylinux1_x86_64.whl.metadata (1.7 kB)
Collecting triton==2.3.0 (from torch)

  Downloading triton-2.3.0-cp311-cp311-manylinux_2_17_x86_64.manylinux2014_x86_64.whl.metadata (1.4 kB)

Requirement already satisfied: nvidia-nvjitlink-cu12 in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from nvidia-cusolver-cu12==11.4.5.107->torch) (12.3.101)

Requirement already satisfied: ml-dtypes>=0.2.0 in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from jax) (0.3.2)
Requirement already satisfied: scipy>=1.9 in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from jax) (1.11.4)

Requirement already satisfied: MarkupSafe>=2.0 in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from jinja2->torch) (2.1.3)
Requirement already satisfied: six in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from multipledispatch->numpyro) (1.16.0)
Requirement already satisfied: mpmath>=0.19 in /opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages (from sympy->torch) (1.3.0)

Downloading pyro_ppl-1.9.0-py3-none-any.whl (745 kB)
?25l   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 0.0/745.2 kB ? eta -:--:--

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?25l   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 0.0/779.2 MB ? eta -:--:--

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   ━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 73.1/779.2 MB 131.1 MB/s eta 0:00:06

   ━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 77.6/779.2 MB 130.1 MB/s eta 0:00:06
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   ━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 86.7/779.2 MB 129.1 MB/s eta 0:00:06

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━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 168.1/779.2 MB 128.6 MB/s eta 0:00:05

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━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 199.5/779.2 MB 129.1 MB/s eta 0:00:05

   ━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 203.9/779.2 MB 127.0 MB/s eta 0:00:05

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   ━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 239.5/779.2 MB 127.1 MB/s eta 0:00:05
━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 243.9/779.2 MB 127.1 MB/s eta 0:00:05

   ━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 248.2/779.2 MB 125.4 MB/s eta 0:00:05

   ━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 252.6/779.2 MB 125.1 MB/s eta 0:00:05
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   ━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 261.4/779.2 MB 125.3 MB/s eta 0:00:05

   ━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 265.6/779.2 MB 124.2 MB/s eta 0:00:05
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   ━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 318.4/779.2 MB 125.2 MB/s eta 0:00:04

   ━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 322.8/779.2 MB 125.9 MB/s eta 0:00:04
━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 327.2/779.2 MB 126.3 MB/s eta 0:00:04

   ━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 331.6/779.2 MB 125.5 MB/s eta 0:00:04

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   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 393.1/779.2 MB 130.9 MB/s eta 0:00:03
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 397.6/779.2 MB 131.1 MB/s eta 0:00:03

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 402.2/779.2 MB 131.2 MB/s eta 0:00:03

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 406.8/779.2 MB 131.1 MB/s eta 0:00:03

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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 416.2/779.2 MB 133.7 MB/s eta 0:00:03

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   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━━ 435.9/779.2 MB 141.9 MB/s eta 0:00:03

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━━ 440.8/779.2 MB 141.0 MB/s eta 0:00:03
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   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━ 450.8/779.2 MB 142.5 MB/s eta 0:00:03

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━━ 455.8/779.2 MB 143.2 MB/s eta 0:00:03
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━ 460.8/779.2 MB 143.0 MB/s eta 0:00:03

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━━ 465.8/779.2 MB 142.5 MB/s eta 0:00:03

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━━ 470.7/779.2 MB 141.7 MB/s eta 0:00:03

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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━ 480.7/779.2 MB 141.8 MB/s eta 0:00:03

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━━ 485.6/779.2 MB 141.1 MB/s eta 0:00:03

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━ 490.5/779.2 MB 140.0 MB/s eta 0:00:03
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━━━━ 495.3/779.2 MB 138.0 MB/s eta 0:00:03

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━━━━ 500.0/779.2 MB 136.0 MB/s eta 0:00:03

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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━━━━ 557.8/779.2 MB 136.5 MB/s eta 0:00:02

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━ 562.6/779.2 MB 136.8 MB/s eta 0:00:02

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━━ 567.4/779.2 MB 136.8 MB/s eta 0:00:02
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   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━ 581.8/779.2 MB 136.0 MB/s eta 0:00:02

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━━ 586.5/779.2 MB 134.8 MB/s eta 0:00:02
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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━━ 605.7/779.2 MB 137.3 MB/s eta 0:00:02

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━ 610.5/779.2 MB 137.6 MB/s eta 0:00:02

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╸━━━━━━━━ 615.3/779.2 MB 137.2 MB/s eta 0:00:02
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━ 620.1/779.2 MB 137.0 MB/s eta 0:00:02

   ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╺━━━━━━━ 625.0/779.2 MB 137.8 MB/s eta 0:00:02

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Installing collected packages: pyro-api, triton, nvidia-nvtx-cu12, nvidia-nccl-cu12, nvidia-cusparse-cu12, nvidia-curand-cu12, nvidia-cufft-cu12, nvidia-cuda-runtime-cu12, nvidia-cuda-nvrtc-cu12, nvidia-cuda-cupti-cu12, nvidia-cublas-cu12, nvidia-cusolver-cu12, nvidia-cudnn-cu12, torch, pyro-ppl

  Attempting uninstall: nvidia-nccl-cu12

    Found existing installation: nvidia-nccl-cu12 2.19.3
Uninstalling nvidia-nccl-cu12-2.19.3:

      Successfully uninstalled nvidia-nccl-cu12-2.19.3

  Attempting uninstall: nvidia-cusparse-cu12

    Found existing installation: nvidia-cusparse-cu12 12.2.0.103
Uninstalling nvidia-cusparse-cu12-12.2.0.103:

      Successfully uninstalled nvidia-cusparse-cu12-12.2.0.103

  Attempting uninstall: nvidia-cufft-cu12

    Found existing installation: nvidia-cufft-cu12 11.0.12.1
Uninstalling nvidia-cufft-cu12-11.0.12.1:

      Successfully uninstalled nvidia-cufft-cu12-11.0.12.1

  Attempting uninstall: nvidia-cuda-runtime-cu12

    Found existing installation: nvidia-cuda-runtime-cu12 12.3.101
Uninstalling nvidia-cuda-runtime-cu12-12.3.101:
Successfully uninstalled nvidia-cuda-runtime-cu12-12.3.101

  Attempting uninstall: nvidia-cuda-nvrtc-cu12

    Found existing installation: nvidia-cuda-nvrtc-cu12 12.3.107
Uninstalling nvidia-cuda-nvrtc-cu12-12.3.107:

      Successfully uninstalled nvidia-cuda-nvrtc-cu12-12.3.107

  Attempting uninstall: nvidia-cuda-cupti-cu12

    Found existing installation: nvidia-cuda-cupti-cu12 12.3.101
Uninstalling nvidia-cuda-cupti-cu12-12.3.101:

      Successfully uninstalled nvidia-cuda-cupti-cu12-12.3.101

  Attempting uninstall: nvidia-cublas-cu12

    Found existing installation: nvidia-cublas-cu12 12.3.4.1

    Uninstalling nvidia-cublas-cu12-12.3.4.1:

      Successfully uninstalled nvidia-cublas-cu12-12.3.4.1

  Attempting uninstall: nvidia-cusolver-cu12

    Found existing installation: nvidia-cusolver-cu12 11.5.4.101
Uninstalling nvidia-cusolver-cu12-11.5.4.101:

      Successfully uninstalled nvidia-cusolver-cu12-11.5.4.101

  Attempting uninstall: nvidia-cudnn-cu12

    Found existing installation: nvidia-cudnn-cu12 8.9.7.29
Uninstalling nvidia-cudnn-cu12-8.9.7.29:

      Successfully uninstalled nvidia-cudnn-cu12-8.9.7.29

Successfully installed nvidia-cublas-cu12-12.1.3.1 nvidia-cuda-cupti-cu12-12.1.105 nvidia-cuda-nvrtc-cu12-12.1.105 nvidia-cuda-runtime-cu12-12.1.105 nvidia-cudnn-cu12-8.9.2.26 nvidia-cufft-cu12-11.0.2.54 nvidia-curand-cu12-10.3.2.106 nvidia-cusolver-cu12-11.4.5.107 nvidia-cusparse-cu12-12.1.0.106 nvidia-nccl-cu12-2.20.5 nvidia-nvtx-cu12-12.1.105 pyro-api-0.1.2 pyro-ppl-1.9.0 torch-2.3.0 triton-2.3.0
WARNING: Running pip as the 'root' user can result in broken permissions and conflicting behaviour with the system package manager. It is recommended to use a virtual environment instead: https://pip.pypa.io/warnings/venv


import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom
import scipy.stats as st
import torch

# jax
import jax.numpy as jnp
from jax import lax, random

# pyro
import pyro
from pyro import distributions as dist
import pyro.distributions.constraints as constraints
from pyro.infer import MCMC, NUTS, SVI, ELBO, Trace_ELBO

# numpyro
import numpyro
from numpyro import distributions as ndist
import numpyro.distributions.constraints as nconstraints
from numpyro.infer import MCMC as nMCMC
from numpyro.infer import NUTS as nNUTS
from numpyro.infer import SVI as nSVI
from numpyro.infer import ELBO as nELBO
from numpyro.infer import Trace_ELBO as nTrace_ELBO


## 44.1. Unleashing MCMC on a Binomial Likelihood#

This lecture begins with the binomial example in the quantecon lecture.

That lecture computed a posterior

• analytically via choosing the conjugate priors,

• numerically by sampling from the posterior distribution through MCMC methods, and

• using a variational inference (VI) approximation.

We use both the packages pyro and numpyro with assistance from jax to approximate a posterior distribution

We use several alternative prior distributions

We compare computed posteriors with ones associated with a conjugate prior as described in the quantecon lecture

### 44.1.1. Analytical Posterior#

Assume that the random variable $$X\sim Binom\left(n,\theta\right)$$.

This defines a likelihood function

$L\left(Y\vert\theta\right) = \textrm{Prob}(X = k | \theta) = \left(\frac{n!}{k! (n-k)!} \right) \theta^k (1-\theta)^{n-k}$

where $$Y=k$$ is an observed data point.

We view $$\theta$$ as a random variable for which we assign a prior distribution having density $$f(\theta)$$.

We will try alternative priors later, but for now, suppose the prior is distributed as $$\theta\sim Beta\left(\alpha,\beta\right)$$, i.e.,

$f(\theta) = \textrm{Prob}(\theta) = \frac{\theta^{\alpha - 1} (1 - \theta)^{\beta - 1}}{B(\alpha, \beta)}$

We choose this as our prior for now because we know that a conjugate prior for the binomial likelihood function is a beta distribution.

After observing $$k$$ successes among $$N$$ sample observations, the posterior probability distributionof $$\theta$$ is

$\textrm{Prob}(\theta|k) = \frac{\textrm{Prob}(\theta,k)}{\textrm{Prob}(k)}=\frac{\textrm{Prob}(k|\theta)\textrm{Prob}(\theta)}{\textrm{Prob}(k)}=\frac{\textrm{Prob}(k|\theta) \textrm{Prob}(\theta)}{\int_0^1 \textrm{Prob}(k|\theta)\textrm{Prob}(\theta) d\theta}$
$=\frac{{N \choose k} (1 - \theta)^{N-k} \theta^k \frac{\theta^{\alpha - 1} (1 - \theta)^{\beta - 1}}{B(\alpha, \beta)}}{\int_0^1 {N \choose k} (1 - \theta)^{N-k} \theta^k\frac{\theta^{\alpha - 1} (1 - \theta)^{\beta - 1}}{B(\alpha, \beta)} d\theta}$
$=\frac{(1 -\theta)^{\beta+N-k-1} \theta^{\alpha+k-1}}{\int_0^1 (1 - \theta)^{\beta+N-k-1} \theta^{\alpha+k-1} d\theta} .$

Thus,

$\textrm{Prob}(\theta|k) \sim {Beta}(\alpha + k, \beta+N-k)$

The analytical posterior for a given conjugate beta prior is coded in the following Python code.

def simulate_draw(theta, n):
"""
Draws a Bernoulli sample of size n with probability P(Y=1) = theta
"""
rand_draw = np.random.rand(n)
draw = (rand_draw < theta).astype(int)
return draw

def analytical_beta_posterior(data, alpha0, beta0):
"""
Computes analytically the posterior distribution with beta prior parametrized by (alpha, beta)
given # num observations

Parameters
---------
num : int.
the number of observations after which we calculate the posterior
alpha0, beta0 : float.
the parameters for the beta distribution as a prior

Returns
---------
The posterior beta distribution
"""
num = len(data)
up_num = data.sum()
down_num = num - up_num
return st.beta(alpha0 + up_num, beta0 + down_num)


### 44.1.2. Two Ways to Approximate Posteriors#

Suppose that we don’t have a conjugate prior.

Then we can’t compute posteriors analytically.

Instead, we use computational tools to approximate the posterior distribution for a set of alternative prior distributions using both Pyro and Numpyro packages in Python.

We first use the Markov Chain Monte Carlo (MCMC) algorithm .

We implement the NUTS sampler to sample from the posterior.

In that way we construct a sampling distribution that approximates the posterior.

After doing that we deply another procedure called Variational Inference (VI).

In particular, we implement Stochastic Variational Inference (SVI) machinery in both Pyro and Numpyro.

The MCMC algorithm supposedly generates a more accurate approximation since in principle it directly samples from the posterior distribution.

But it can be computationally expensive, especially when dimension is large.

A VI approach can be cheaper, but it is likely to produce an inferior approximation to the posterior, for the simple reason that it requires guessing a parametric guide functional form that we use to approximate a posterior.

This guide function is likely at best to be an imperfect approximation.

By paying the cost of restricting the putative posterior to have a restricted functional form, the problem of approximating a posteriors is transformed to a well-posed optimization problem that seeks parameters of the putative posterior that minimize a Kullback-Leibler (KL) divergence between true posterior and the putatitive posterior distribution.

• minimizing the KL divergence is equivalent with maximizing a criterion called the Evidence Lower Bound (ELBO), as we shall verify soon.

## 44.2. Prior Distributions#

In order to be able to apply MCMC sampling or VI, Pyro and Numpyro require that a prior distribution satisfy special properties:

• we must be able sample from it;

• we must be able to compute the log pdf pointwise;

• the pdf must be differentiable with respect to the parameters.

We’ll want to define a distribution class.

We will use the following priors:

• a uniform distribution on $$[\underline \theta, \overline \theta]$$, where $$0 \leq \underline \theta < \overline \theta \leq 1$$.

• a truncated log-normal distribution with support on $$[0,1]$$ with parameters $$(\mu,\sigma)$$.

• To implement this, let $$Z\sim Normal(\mu,\sigma)$$ and $$\tilde{Z}$$ be truncated normal with support $$[\log(0),\log(1)]$$, then $$\exp(Z)$$ has a log normal distribution with bounded support $$[0,1]$$. This can be easily coded since Numpyro has a built-in truncated normal distribution, and Torch provides a TransformedDistribution class that includes an exponential transformation.

• Alternatively, we can use a rejection sampling strategy by assigning the probability rate to $$0$$ outside the bounds and rescaling accepted samples, i.e., realizations that are within the bounds, by the total probability computed via CDF of the original distribution. This can be implemented by defining a truncated distribution class with pyro’s dist.Rejector class.

• We implement both methods in the below section and verify that they produce the same result.

• a shifted von Mises distribution that has support confined to $$[0,1]$$ with parameter $$(\mu,\kappa)$$.

• Let $$X\sim vonMises(0,\kappa)$$. We know that $$X$$ has bounded support $$[-\pi, \pi]$$. We can define a shifted von Mises random variable $$\tilde{X}=a+bX$$ where $$a=0.5, b=1/(2 \pi)$$ so that $$\tilde{X}$$ is supported on $$[0,1]$$.

• This can be implemented using Torch’s TransformedDistribution class with its AffineTransform method.

• If instead, we want the prior to be von-Mises distributed with center $$\mu=0.5$$, we can choose a high concentration level $$\kappa$$ so that most mass is located between $$0$$ and $$1$$. Then we can truncate the distribution using the above strategy. This can be implemented using pyro’s dist.Rejector class. We choose $$\kappa > 40$$ in this case.

• a truncated Laplace distribution.

• We also considered a truncated Laplace distribution because its density comes in a piece-wise non-smooth form and has a distinctive spiked shape.

• The truncated Laplace can be created using Numpyro’s TruncatedDistribution class.

# used by Numpyro
def TruncatedLogNormal_trans(loc, scale):
"""
Obtains the truncated log normal distribution using numpyro's TruncatedNormal and ExpTransform
"""
base_dist = ndist.TruncatedNormal(low=jnp.log(0), high=jnp.log(1), loc=loc, scale=scale)
return ndist.TransformedDistribution(
base_dist,ndist.transforms.ExpTransform()
)

def ShiftedVonMises(kappa):
"""
Obtains the shifted von Mises distribution using AffineTransform
"""
base_dist = ndist.VonMises(0, kappa)
return ndist.TransformedDistribution(
base_dist, ndist.transforms.AffineTransform(loc=0.5, scale=1/(2*jnp.pi))
)

def TruncatedLaplace(loc, scale):
"""
Obtains the truncated Laplace distribution on [0,1]
"""
base_dist = ndist.Laplace(loc, scale)
return ndist.TruncatedDistribution(
base_dist, low=0.0, high=1.0
)

# used by Pyro
class TruncatedLogNormal(dist.Rejector):
"""
Define a TruncatedLogNormal distribution through rejection sampling in Pyro
"""
def __init__(self, loc, scale_0, upp=1):
self.upp = upp
propose = dist.LogNormal(loc, scale_0)

def log_prob_accept(x):
return (x < upp).type_as(x).log()

log_scale = dist.LogNormal(loc, scale_0).cdf(torch.as_tensor(upp)).log()
super(TruncatedLogNormal, self).__init__(propose, log_prob_accept, log_scale)

@constraints.dependent_property
def support(self):
return constraints.interval(0, self.upp)

class TruncatedvonMises(dist.Rejector):
"""
Define a TruncatedvonMises distribution through rejection sampling in Pyro
"""
def __init__(self, kappa, mu=0.5, low=0.0, upp=1.0):
self.low, self.upp = low, upp
propose = dist.VonMises(mu, kappa)

def log_prob_accept(x):
return ((x > low) & (x < upp)).type_as(x).log()

log_scale = torch.log(
torch.tensor(
st.vonmises(kappa=kappa, loc=mu).cdf(upp)
- st.vonmises(kappa=kappa, loc=mu).cdf(low))
)
super(TruncatedvonMises, self).__init__(propose, log_prob_accept, log_scale)

@constraints.dependent_property
def support(self):
return constraints.interval(self.low, self.upp)


### 44.2.1. Variational Inference#

Instead of directly sampling from the posterior, the variational inference methodw approximates an unknown posterior distribution with a family of tractable distributions/densities.

It then seeks to minimizes a measure of statistical discrepancy between the approximating and true posteriors.

Thus variational inference (VI) approximates a posterior by solving a minimization problem.

Let the latent parameter/variable that we want to infer be $$\theta$$.

Let the prior be $$p(\theta)$$ and the likelihood be $$p\left(Y\vert\theta\right)$$.

We want $$p\left(\theta\vert Y\right)$$.

Bayes’ rule implies

$p\left(\theta\vert Y\right)=\frac{p\left(Y,\theta\right)}{p\left(Y\right)}=\frac{p\left(Y\vert\theta\right)p\left(\theta\right)}{p\left(Y\right)}$

where

(44.1)#$p\left(Y\right)=\int d\theta p\left(Y\mid\theta\right)p\left(Y\right).$

The integral on the right side of (44.1) is typically difficult to compute.

Consider a guide distribution $$q_{\phi}(\theta)$$ parameterized by $$\phi$$ that we’ll use to approximate the posterior.

We choose parameters $$\phi$$ of the guide distribution to minimize a Kullback-Leibler (KL) divergence between the approximate posterior $$q_{\phi}(\theta)$$ and the posterior:

$D_{KL}(q(\theta;\phi)\;\|\;p(\theta\mid Y)) \equiv -\int d\theta q(\theta;\phi)\log\frac{p(\theta\mid Y)}{q(\theta;\phi)}$

Thus, we want a variational distribution $$q$$ that solves

$\min_{\phi}\quad D_{KL}(q(\theta;\phi)\;\|\;p(\theta\mid Y))$

Note that

\begin{split} \begin{aligned}D_{KL}(q(\theta;\phi)\;\|\;p(\theta\mid Y)) & =-\int d\theta q(\theta;\phi)\log\frac{P(\theta\mid Y)}{q(\theta;\phi)}\\ & =-\int d\theta q(\theta)\log\frac{\frac{p(\theta,Y)}{p(Y)}}{q(\theta)}\\ & =-\int d\theta q(\theta)\log\frac{p(\theta,Y)}{p(\theta)q(Y)}\\ & =-\int d\theta q(\theta)\left[\log\frac{p(\theta,Y)}{q(\theta)}-\log p(Y)\right]\\ & =-\int d\theta q(\theta)\log\frac{p(\theta,Y)}{q(\theta)}+\int d\theta q(\theta)\log p(Y)\\ & =-\int d\theta q(\theta)\log\frac{p(\theta,Y)}{q(\theta)}+\log p(Y)\\ \log p(Y)&=D_{KL}(q(\theta;\phi)\;\|\;p(\theta\mid Y))+\int d\theta q_{\phi}(\theta)\log\frac{p(\theta,Y)}{q_{\phi}(\theta)} \end{aligned} \end{split}

For observed data $$Y$$, $$p(\theta,Y)$$ is a constant, so minimizing KL divergence is equivalent to maximizing

(44.2)#$ELBO\equiv\int d\theta q_{\phi}(\theta)\log\frac{p(\theta,Y)}{q_{\phi}(\theta)}=\mathbb{E}_{q_{\phi}(\theta)}\left[\log p(\theta,Y)-\log q_{\phi}(\theta)\right]$

Formula (44.2) is called the evidence lower bound (ELBO).

A standard optimization routine can used to search for the optimal $$\phi$$ in our parametrized distribution $$q_{\phi}(\theta)$$.

The parameterized distribution $$q_{\phi}(\theta)$$ is called the variational distribution.

We can implement Stochastic Variational Inference (SVI) in Pyro and Numpyro using the Adam gradient descent algorithm to approximate posterior.

We use two sets of variational distributions: Beta and TruncatedNormal with support $$[0,1]$$

• Learnable parameters for the Beta distribution are (alpha, beta), both of which are positive.

• Learnable parameters for the Truncated Normal distribution are (loc, scale).

We restrict the truncated Normal paramter ‘loc’ to be in the interval $$[0,1]$$.

## 44.3. Implementation#

We have constructed a Python class BaysianInference that requires the following arguments to be initialized:

• param: a tuple/scalar of parameters dependent on distribution types

• name_dist: a string that specifies distribution names

The (param, name_dist) pair includes:

• (‘beta’, alpha, beta)

• (‘uniform’, upper_bound, lower_bound)

• (‘lognormal’, loc, scale)

• Note: This is the truncated log normal.

• (‘vonMises’, kappa), where kappa denotes concentration parameter, and center location is set to $$0.5$$.

• Note: When using Pyro, this is the truncated version of the original vonMises distribution;

• Note: When using Numpyro, this is the shifted distribution.

• (‘laplace’, loc, scale)

• Note: This is the truncated Laplace

The class BaysianInference has several key methods :

• sample_prior:

• This can be used to draw a single sample from the given prior distribution.

• show_prior:

• Plots the approximate prior distribution by repeatedly drawing samples and fitting a kernal density curve.

• MCMC_sampling:

• INPUT: (data, num_samples, num_warmup=1000)

• Take a np.array data and generate MCMC sampling of posterior of size num_samples.

• SVI_run:

• INPUT: (data, guide_dist, n_steps=10000)

• guide_dist = ‘normal’ - use a truncated normal distribution as the parametrized guide

• guide_dist = ‘beta’ - use a beta distribution as the parametrized guide

• RETURN: (params, losses) - the learned parameters in a dict and the vector of loss at each step.

class BayesianInference:
def __init__(self, param, name_dist, solver):
"""
Parameters
---------
param : tuple.
a tuple object that contains all relevant parameters for the distribution
dist : str.
name of the distribution - 'beta', 'uniform', 'lognormal', 'vonMises', 'tent'
solver : str.
either pyro or numpyro
"""
self.param = param
self.name_dist = name_dist
self.solver = solver

# jax requires explicit PRNG state to be passed
self.rng_key = random.PRNGKey(0)

def sample_prior(self):
"""
Define the prior distribution to sample from in Pyro/Numpyro models.
"""
if self.name_dist=='beta':
# unpack parameters
alpha0, beta0 = self.param
if self.solver=='pyro':
sample = pyro.sample('theta', dist.Beta(alpha0, beta0))
else:
sample = numpyro.sample('theta', ndist.Beta(alpha0, beta0), rng_key=self.rng_key)

elif self.name_dist=='uniform':
# unpack parameters
lb, ub = self.param
if self.solver=='pyro':
sample = pyro.sample('theta', dist.Uniform(lb, ub))
else:
sample = numpyro.sample('theta', ndist.Uniform(lb, ub), rng_key=self.rng_key)

elif self.name_dist=='lognormal':
# unpack parameters
loc, scale = self.param
if self.solver=='pyro':
sample = pyro.sample('theta', TruncatedLogNormal(loc, scale))
else:
sample = numpyro.sample('theta', TruncatedLogNormal_trans(loc, scale), rng_key=self.rng_key)

elif self.name_dist=='vonMises':
# unpack parameters
kappa = self.param
if self.solver=='pyro':
sample = pyro.sample('theta', TruncatedvonMises(kappa))
else:
sample = numpyro.sample('theta', ShiftedVonMises(kappa), rng_key=self.rng_key)

elif self.name_dist=='laplace':
# unpack parameters
loc, scale = self.param
if self.solver=='pyro':
print("WARNING: Please use Numpyro for truncated Laplace.")
sample = None
else:
sample = numpyro.sample('theta', TruncatedLaplace(loc, scale), rng_key=self.rng_key)

return sample

def show_prior(self, size=1e5, bins=20, disp_plot=1):
"""
Visualizes prior distribution by sampling from prior and plots the approximated sampling distribution
"""
self.bins = bins

if self.solver=='pyro':
with pyro.plate('show_prior', size=size):
sample = self.sample_prior()
# to numpy
sample_array = sample.numpy()

elif self.solver=='numpyro':
with numpyro.plate('show_prior', size=size):
sample = self.sample_prior()
# to numpy
sample_array=jnp.asarray(sample)

# plot histogram and kernel density
if disp_plot==1:
sns.displot(sample_array, kde=True, stat='density', bins=bins, height=5, aspect=1.5)
plt.xlim(0, 1)
plt.show()
else:
return sample_array

def model(self, data):
"""
Define the probabilistic model by specifying prior, conditional likelihood, and data conditioning
"""
if not torch.is_tensor(data):
data = torch.tensor(data)
# set prior
theta = self.sample_prior()

# sample from conditional likelihood
if self.solver=='pyro':
output = pyro.sample('obs', dist.Binomial(len(data), theta), obs=torch.sum(data))
else:
# Note: numpyro.sample() requires obs=np.ndarray
output = numpyro.sample('obs', ndist.Binomial(len(data), theta), obs=torch.sum(data).numpy())
return output

def MCMC_sampling(self, data, num_samples, num_warmup=1000):
"""
Computes numerically the posterior distribution with beta prior parametrized by (alpha0, beta0)
given data using MCMC
"""
# tensorize
data = torch.tensor(data)

# use pyro
if self.solver=='pyro':

nuts_kernel = NUTS(self.model)
mcmc = MCMC(nuts_kernel, num_samples=num_samples, warmup_steps=num_warmup, disable_progbar=True)
mcmc.run(data)

# use numpyro
elif self.solver=='numpyro':

nuts_kernel = nNUTS(self.model)
mcmc = nMCMC(nuts_kernel, num_samples=num_samples, num_warmup=num_warmup, progress_bar=False)
mcmc.run(self.rng_key, data=data)

# collect samples
samples = mcmc.get_samples()['theta']
return samples

def beta_guide(self, data):
"""
Defines the candidate parametrized variational distribution that we train to approximate posterior with Pyro/Numpyro
Here we use parameterized beta
"""
if self.solver=='pyro':
alpha_q = pyro.param('alpha_q', torch.tensor(0.5),
constraint=constraints.positive)
beta_q = pyro.param('beta_q', torch.tensor(0.5),
constraint=constraints.positive)
pyro.sample('theta', dist.Beta(alpha_q, beta_q))

else:
alpha_q = numpyro.param('alpha_q', 10,
constraint=nconstraints.positive)
beta_q = numpyro.param('beta_q', 10,
constraint=nconstraints.positive)

numpyro.sample('theta', ndist.Beta(alpha_q, beta_q))

def truncnormal_guide(self, data):
"""
Defines the candidate parametrized variational distribution that we train to approximate posterior with Pyro/Numpyro
Here we use truncated normal on [0,1]
"""
loc = numpyro.param('loc', 0.5,
constraint=nconstraints.interval(0.0, 1.0))
scale = numpyro.param('scale', 1,
constraint=nconstraints.positive)
numpyro.sample('theta', ndist.TruncatedNormal(loc, scale, low=0.0, high=1.0))

def SVI_init(self, guide_dist, lr=0.0005):
"""
Initiate SVI training mode with Adam optimizer
NOTE: truncnormal_guide can only be used with numpyro solver
"""

if guide_dist=='beta':
if self.solver=='pyro':
svi = SVI(self.model, self.beta_guide, optimizer, loss=Trace_ELBO())

elif self.solver=='numpyro':
svi = nSVI(self.model, self.beta_guide, optimizer, loss=nTrace_ELBO())

elif guide_dist=='normal':
# only allow numpyro
if self.solver=='pyro':
print("WARNING: Please use Numpyro with TruncatedNormal guide")
svi = None

elif self.solver=='numpyro':
svi = nSVI(self.model, self.truncnormal_guide, optimizer, loss=nTrace_ELBO())
else:
print("WARNING: Please input either 'beta' or 'normal'")
svi = None

return svi

def SVI_run(self, data, guide_dist, n_steps=10000):
"""
Runs SVI and returns optimized parameters and losses

Returns
--------
params : the learned parameters for guide
losses : a vector of loss at each step
"""
# tensorize data
if not torch.is_tensor(data):
data = torch.tensor(data)

# initiate SVI
svi = self.SVI_init(guide_dist=guide_dist)

if self.solver=='pyro':
# store loss vector
losses = np.zeros(n_steps)
for step in range(n_steps):
losses[step] = svi.step(data)

# pyro only supports beta VI distribution
params = {
'alpha_q': pyro.param('alpha_q').item(),
'beta_q': pyro.param('beta_q').item()
}

elif self.solver=='numpyro':
result = svi.run(self.rng_key, n_steps, data, progress_bar=False)
params = dict(
(key, np.asarray(value)) for key, value in result.params.items()
)
losses = np.asarray(result.losses)

return params, losses


## 44.4. Alternative Prior Distributions#

Let’s see how well our sampling algorithm does in approximating

• a log normal distribution

• a uniform distribution

To examine our alternative prior distributions, we’ll plot approximate prior distributions below by calling the show_prior method.

We verify that the rejection sampling strategy under Pyro produces the same log normal distribution as the truncated normal transformation under Numpyro.

# truncated log normal
exampleLN = BayesianInference(param=(0,2), name_dist='lognormal', solver='numpyro')
exampleLN.show_prior(size=100000,bins=20)

# truncated uniform
exampleUN = BayesianInference(param=(0.1,0.8), name_dist='uniform', solver='numpyro')
exampleUN.show_prior(size=100000,bins=20)

An NVIDIA GPU may be present on this machine, but a CUDA-enabled jaxlib is not installed. Falling back to cpu.

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):


The above graphs show that sampling seems to work well with both distributions.

Now let’s see how well things work with a couple of von Mises distributions.

# shifted von Mises
exampleVM = BayesianInference(param=10, name_dist='vonMises', solver='numpyro')
exampleVM.show_prior(size=100000,bins=20)

# truncated von Mises
exampleVM_trunc = BayesianInference(param=20, name_dist='vonMises', solver='pyro')
exampleVM_trunc.show_prior(size=100000,bins=20)

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):


These graphs look good too.

Now let’s try with a Laplace distribution.

# truncated Laplace
exampleLP = BayesianInference(param=(0.5,0.05), name_dist='laplace', solver='numpyro')
exampleLP.show_prior(size=100000,bins=40)

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):


Having assured ourselves that our sampler seems to do a good job, let’s put it to work in using MCMC to compute posterior probabilities.

## 44.5. Posteriors Via MCMC and VI#

We construct a class BayesianInferencePlot to implement MCMC or VI algorithms and plot multiple posteriors for different updating data sizes and different possible prior.

This class takes as inputs the true data generating parameter ‘theta’, a list of updating data sizes for multiple posterior plotting, and a defined and parametrized BayesianInference class.

It has two key methods:

• BayesianInferencePlot.MCMC_plot() takes wanted MCMC sample size as input and plot the output posteriors together with the prior defined in BayesianInference class.

• BayesianInferencePlot.SVI_plot() takes wanted VI distribution class (‘beta’ or ‘normal’) as input and plot the posteriors together with the prior.

class BayesianInferencePlot:
"""
Easily implement the MCMC and VI inference for a given instance of BayesianInference class and
plot the prior together with multiple posteriors

Parameters
----------
theta : float.
the true DGP parameter
N_list : list.
a list of sample size
BayesianInferenceClass : class.
a class initiated using BayesianInference()

"""

def __init__(self, theta, N_list, BayesianInferenceClass, binwidth=0.02):
"""
Enter Parameters for data generation and plotting
"""
self.theta = theta
self.N_list = N_list
self.BayesianInferenceClass = BayesianInferenceClass

# plotting parameters
self.binwidth = binwidth
self.linewidth=0.05
self.colorlist = sns.color_palette(n_colors=len(N_list))

# data generation
N_max = max(N_list)
self.data = simulate_draw(theta, N_max)

def MCMC_plot(self, num_samples, num_warmup=1000):
"""
Parameters as in MCMC_sampling except that data is already defined
"""
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# plot prior
prior_sample = self.BayesianInferenceClass.show_prior(disp_plot=0)
sns.histplot(
data=prior_sample, kde=True, stat='density',
binwidth=self.binwidth,
color='#4C4E52',
linewidth=self.linewidth,
alpha=0.1,
ax=ax,
label='Prior Distribution'
)

# plot posteriors
for id, n in enumerate(self.N_list):
samples = self.BayesianInferenceClass.MCMC_sampling(
self.data[:n], num_samples, num_warmup
)
sns.histplot(
samples, kde=True, stat='density',
binwidth=self.binwidth,
linewidth=self.linewidth,
alpha=0.2,
color=self.colorlist[id-1],
label=f'Posterior with $n={n}$'
)
ax.legend()
ax.set_title('MCMC Sampling density of Posterior Distributions', fontsize=15)
plt.xlim(0, 1)
plt.show()

def SVI_fitting(self, guide_dist, params):
"""
Fit the beta/truncnormal curve using parameters trained by SVI.
I create plot using PDF given by scipy.stats distributions since torch.dist do not have embedded PDF methods.
"""
# create x axis
xaxis = np.linspace(0,1,1000)
if guide_dist=='beta':
y = st.beta.pdf(xaxis, a=params['alpha_q'], b=params['beta_q'])

elif guide_dist=='normal':

# rescale upper/lower bound. See Scipy's truncnorm doc
lower, upper = (0, 1)
loc, scale = params['loc'], params['scale']
a, b = (lower - loc) / scale, (upper - loc) / scale

y = st.truncnorm.pdf(xaxis, a=a, b=b, loc=params['loc'], scale=params['scale'])
return (xaxis, y)

def SVI_plot(self, guide_dist, n_steps=2000):
"""
Parameters as in SVI_run except that data is already defined
"""
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# plot prior
prior_sample = self.BayesianInferenceClass.show_prior(disp_plot=0)
sns.histplot(
data=prior_sample, kde=True, stat='density',
binwidth=self.binwidth,
color='#4C4E52',
linewidth=self.linewidth,
alpha=0.1,
ax=ax,
label='Prior Distribution'
)

# plot posteriors
for id, n in enumerate(self.N_list):
(params, losses) = self.BayesianInferenceClass.SVI_run(self.data[:n], guide_dist, n_steps)
x, y = self.SVI_fitting(guide_dist, params)
ax.plot(x, y,
alpha=1,
color=self.colorlist[id-1],
label=f'Posterior with $n={n}$'
)
ax.legend()
ax.set_title(f'SVI density of Posterior Distributions with {guide_dist} guide', fontsize=15)
plt.xlim(0, 1)
plt.show()


Let’s set some parameters that we’ll use in all of the examples below.

To save computer time at first, notice that we’ll set MCMC_num_samples = 2000 and SVI_num_steps = 5000.

(Later, to increase accuracy of approximations, we’ll want to increase these.)

num_list = [5,10,50,100,1000]
MCMC_num_samples = 2000
SVI_num_steps = 5000

# theta is the data generating process
true_theta = 0.8


### 44.5.1. Beta Prior and Posteriors:#

Let’s compare outcomes when we use a Beta prior.

For the same Beta prior, we shall

• compute posteriors analytically

• compute posteriors using MCMC via Pyro and Numpyro.

• compute posteriors using VI via Pyro and Numpyro.

Let’s start with the analytical method that we described in this quantecon lecture https://python.quantecon.org/prob_meaning.html

# First examine Beta priors
BETA_pyro = BayesianInference(param=(5,5), name_dist='beta', solver='pyro')
BETA_numpyro = BayesianInference(param=(5,5), name_dist='beta', solver='numpyro')

BETA_pyro_plot = BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, BETA_pyro)
BETA_numpyro_plot = BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, BETA_numpyro)

# plot analytical Beta prior and posteriors
xaxis = np.linspace(0,1,1000)
y_prior = st.beta.pdf(xaxis, 5, 5)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
# plot analytical beta prior
ax.plot(xaxis, y_prior, label='Analytical Beta Prior', color='#4C4E52')

data, colorlist, N_list = BETA_pyro_plot.data, BETA_pyro_plot.colorlist, BETA_pyro_plot.N_list
# plot analytical beta posteriors
for id, n in enumerate(N_list):
func = analytical_beta_posterior(data[:n], alpha0=5, beta0=5)
y_posterior = func.pdf(xaxis)
ax.plot(
xaxis, y_posterior, color=colorlist[id-1], label=f'Analytical Beta Posterior with $n={n}$')
ax.legend()
ax.set_title('Analytical Beta Prior and Posterior', fontsize=15)
plt.xlim(0, 1)
plt.show()


Now let’s use MCMC while still using a beta prior.

We’ll do this for both MCMC and VI.

BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, BETA_pyro).MCMC_plot(num_samples=MCMC_num_samples)
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, BETA_numpyro).SVI_plot(guide_dist='beta', n_steps=SVI_num_steps)

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):


Here the MCMC approximation looks good.

But the VI approximation doesn’t look so good.

• even though we use the beta distribution as our guide, the VI approximated posterior distributions do not closely resemble the posteriors that we had just computed analytically.

(Here, our initial parameter for Beta guide is (0.5, 0.5).)

But if we increase the number of steps from 5000 to 10000 in VI as we now shall do, we’ll get VI-approximated posteriors will be more accurate, as we shall see next.

(Increasing the step size increases computational time though).

BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, BETA_numpyro).SVI_plot(guide_dist='beta', n_steps=100000)

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):


## 44.6. Non-conjugate Prior Distributions#

Having assured ourselves that our MCMC and VI methods can work well when we have conjugate prior and so can also compute analytically, we next proceed to situations in which our prior is not a beta distribution, so we don’t have a conjugate prior.

So we will have non-conjugate priors and are cast into situations in which we can’t calculate posteriors analytically.

### 44.6.1. MCMC#

First, we implement and display MCMC.

We first initialize the BayesianInference classes and then can directly call BayesianInferencePlot to plot both MCMC and SVI approximating posteriors.

# Initialize BayesianInference classes
# try uniform
STD_UNIFORM_pyro = BayesianInference(param=(0,1), name_dist='uniform', solver='pyro')
UNIFORM_numpyro = BayesianInference(param=(0.2,0.7), name_dist='uniform', solver='numpyro')

# try truncated lognormal
LOGNORMAL_numpyro = BayesianInference(param=(0,2), name_dist='lognormal', solver='numpyro')
LOGNORMAL_pyro = BayesianInference(param=(0,2), name_dist='lognormal', solver='pyro')

# try von Mises
# shifted von Mises
VONMISES_numpyro = BayesianInference(param=10, name_dist='vonMises', solver='numpyro')
# truncated von Mises
VONMISES_pyro = BayesianInference(param=40, name_dist='vonMises', solver='pyro')

# try laplace
LAPLACE_numpyro = BayesianInference(param=(0.5, 0.07), name_dist='laplace', solver='numpyro')

# Uniform
example_CLASS = STD_UNIFORM_pyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).MCMC_plot(num_samples=MCMC_num_samples)

example_CLASS = UNIFORM_numpyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).MCMC_plot(num_samples=MCMC_num_samples)

=======INFO=======
Parameters: (0, 1)
Prior Dist: uniform
Solver: pyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

=======INFO=======
Parameters: (0.2, 0.7)
Prior Dist: uniform
Solver: numpyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):


In the situation depicted above, we have assumed a $$Uniform(\underline{\theta}, \overline{\theta})$$ prior that puts zero probability outside a bounded support that excludes the true value.

Consequently, the posterior cannot put positive probability above $$\overline{\theta}$$ or below $$\underline{\theta}$$.

Note how when the true data-generating $$\theta$$ is located at $$0.8$$ as it is here, when $$n$$ gets large, the posterior concentrate on the upper bound of the support of the prior, $$0.7$$ here.

# Log Normal
example_CLASS = LOGNORMAL_numpyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).MCMC_plot(num_samples=MCMC_num_samples)

example_CLASS = LOGNORMAL_pyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).MCMC_plot(num_samples=MCMC_num_samples)

=======INFO=======
Parameters: (0, 2)
Prior Dist: lognormal
Solver: numpyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

=======INFO=======
Parameters: (0, 2)
Prior Dist: lognormal
Solver: pyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

# Von Mises
example_CLASS = VONMISES_numpyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
print('\nNOTE: Shifted von Mises')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).MCMC_plot(num_samples=MCMC_num_samples)

example_CLASS = VONMISES_pyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
print('\nNOTE: Truncated von Mises')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).MCMC_plot(num_samples=MCMC_num_samples)

=======INFO=======
Parameters: 10
Prior Dist: vonMises
Solver: numpyro

NOTE: Shifted von Mises

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

=======INFO=======
Parameters: 40
Prior Dist: vonMises
Solver: pyro

NOTE: Truncated von Mises

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

# Laplace
example_CLASS = LAPLACE_numpyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).MCMC_plot(num_samples=MCMC_num_samples)

=======INFO=======
Parameters: (0.5, 0.07)
Prior Dist: laplace
Solver: numpyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):


To get more accuracy we will now increase the number of steps for Variational Inference (VI)

SVI_num_steps = 50000


#### 44.6.1.1. VI with a Truncated Normal Guide#

# Uniform
example_CLASS = BayesianInference(param=(0,1), name_dist='uniform', solver='numpyro')
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).SVI_plot(guide_dist='normal', n_steps=SVI_num_steps)

=======INFO=======
Parameters: (0, 1)
Prior Dist: uniform
Solver: numpyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

# Log Normal
example_CLASS = LOGNORMAL_numpyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).SVI_plot(guide_dist='normal', n_steps=SVI_num_steps)

=======INFO=======
Parameters: (0, 2)
Prior Dist: lognormal
Solver: numpyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

# Von Mises
example_CLASS = VONMISES_numpyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
print('\nNB: Shifted von Mises')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).SVI_plot(guide_dist='normal', n_steps=SVI_num_steps)

=======INFO=======
Parameters: 10
Prior Dist: vonMises
Solver: numpyro

NB: Shifted von Mises

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

# Laplace
example_CLASS = LAPLACE_numpyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).SVI_plot(guide_dist='normal', n_steps=SVI_num_steps)

=======INFO=======
Parameters: (0.5, 0.07)
Prior Dist: laplace
Solver: numpyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):


#### 44.6.1.2. Variational Inference with a Beta Guide Distribution#

# Uniform
example_CLASS = STD_UNIFORM_pyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).SVI_plot(guide_dist='beta', n_steps=SVI_num_steps)

=======INFO=======
Parameters: (0, 1)
Prior Dist: uniform
Solver: pyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

# Log Normal
example_CLASS = LOGNORMAL_numpyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).SVI_plot(guide_dist='beta', n_steps=SVI_num_steps)

example_CLASS = LOGNORMAL_pyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).SVI_plot(guide_dist='beta', n_steps=SVI_num_steps)

=======INFO=======
Parameters: (0, 2)
Prior Dist: lognormal
Solver: numpyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

=======INFO=======
Parameters: (0, 2)
Prior Dist: lognormal
Solver: pyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

# Von Mises
example_CLASS = VONMISES_numpyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
print('\nNB: Shifted von Mises')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).SVI_plot(guide_dist='beta', n_steps=SVI_num_steps)

example_CLASS = VONMISES_pyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
print('\nNB: Truncated von Mises')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).SVI_plot(guide_dist='beta', n_steps=SVI_num_steps)

=======INFO=======
Parameters: 10
Prior Dist: vonMises
Solver: numpyro

NB: Shifted von Mises

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

=======INFO=======
Parameters: 40
Prior Dist: vonMises
Solver: pyro

NB: Truncated von Mises

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):

# Laplace
example_CLASS = LAPLACE_numpyro
print(f'=======INFO=======\nParameters: {example_CLASS.param}\nPrior Dist: {example_CLASS.name_dist}\nSolver: {example_CLASS.solver}')
BayesianInferencePlot(true_theta, num_list, example_CLASS).SVI_plot(guide_dist='beta', n_steps=SVI_num_steps)

=======INFO=======
Parameters: (0.5, 0.07)
Prior Dist: laplace
Solver: numpyro

/opt/conda/envs/quantecon/lib/python3.11/site-packages/seaborn/_oldcore.py:1119: FutureWarning: use_inf_as_na option is deprecated and will be removed in a future version. Convert inf values to NaN before operating instead.
with pd.option_context('mode.use_inf_as_na', True):